• Imprimeix

Projecció conforme

Autor: Dr. Josep Maria Rabella. Universitat de Barcelona
Promotor: Institut Cartogràfic de Catalunya, 2013

Sinònims: projecció equiangular, projecció isògona, projecció isogonal, projecció ortomòrfica, projecció ortomorfa, projecció soogònica, projecció autogonal
cs proyección conforme; fr projection conforte; it proiezione conforme; en conformal projection; de konforme Abbildung

SUMARI

  1. Projeccions conformes en totes les famílies
  2. Projeccions especials conformes
  3. La conformitat, radicalment oposada a l'equivalència
  4. La utilitat de la conformitat
  5. Temes relacionats
  6. Referències
  7. Lectures recomanades

Projecció cartogràfica dotada de la qualitat de conformitat, de manera que conserva constants les formes en el mapa, amb els mateixos valors angulars que els mesurats en el corresponent territori representat.

És necessari remarcar que els valor angulars només es poden mantenir invariables sobre els propis punts individuals de cada vèrtex, però no pas sobre les direccions entre punts distants de diferents vèrtexs, cosa que implicaria l'absència de tota alteració dimensional, circumstància absolutament impossible d'assolir, com és ben sabut, en la transformació d'una superfície corba a una de plana.

Un increment uniforme de les superfícies manté inalterable els valors angulars.

Projeccions conformes en totes les famílies

Existeixen diverses propostes de conformitat en totes les famílies de projeccions, azimutals, còniques, cilíndriques i especials, resultat de la pròpia projectiva o obtingudes artificialment per càlcul matemàtic. Entre les projeccions azimutals trobem la destacada projecció perspectiva anomenada estereogràfica; entre les cilíndriques, la popularment coneguda conforme de Mercator; dins la família de les còniques, trobem la cònica conforme de Lambert, i entre les especials poden veure's diversos reticulats matemàtics, com el de la projecció de Peirce, de Laborde, de la doblement periòdica d'Émile Guyou, etc., a part de les infinites derivacions possibles i existents en cada grup.

Projeccions especials conformes

La projecció conforme de Peirce forma part del grup de projeccions especials conformes, a la pràctica molt menys utilitzades que les altres de la família, però d'un interès matemàtico-geodèsic innegable. En aquest cas, és fruit de l'inici de l'aplicació, per part de l'autor, Charles Sanders Peirce (1839-1914), de funcions el·líptiques a la representació de planisferis sencers.

La projecció doblement periòdica d'Émile Guyou (1843-1915), que correspon a una generalització de la cilíndrica conforme de Mercator, és basada en els mateixos principis que la citada anteriorment de Peirce.

La projecció de Laborde, per variables separades (1932), representa un altre exemple d'interessant exercici matemàtic, obra de Jean Laborde (1805-1878), derivat de la projecció estereogràfica, que correspon a un cas concret de les projeccions conformes doblement circulars de l'esfera.

Algunes altres projeccions especials conformes són la d'Oscar S. Adams (1874-1962), en una el·lipse per a un hemisferi (1925); la de Joseph Johann von Littrow (1781-1840), amb el·lipses homofocals; la conforme per a un planisferi en un hexàgon regular; la conforme per a un planisferi en un rombe amb els pols en els angles de 120°; la conforme per a un hemisferi en un rombe amb els pols en els angles de 60° o bé de 120°; la conforme per a un hemisferi en un rombe amb els pols en la intersecció de les diagonals, etc.

La conformitat, radicalment oposada a l'equivalència

El principi de conformitat no tan sols es presenta sempre del tot incompatible amb el d'equivalència sinó que, a més, ambdós són, entre ells, matemàticament contradictoris, oposats. Per tant, podem afirmar amb contundència que mai cap projecció pot resultar, a la vegada, conforme i equivalent.

Efectes evidents de la pèrdua d'equivalència d'un mapa en una projecció conforme.

El manteniment de la conformitat es basa en la peculiaritat dels valors angulars, que suposen un determinat grau d'obertura just en el punt del vèrtex de l'angle, però no depenen en absolut de la longitud dels seus costats. Per tant, si en el context d'un determinat tipus de model de projecció aconseguim que els increments dimensionals inevitables produïts sobre un punt siguin de la mateixa intensitat en totes les direccions, els valors angulars es mantindran allí inalterables.

Esquema lògic de la construcció de la projecció cilíndrica conforme de Mercator en posició equatorial: l'increment cap als pols de l'espaiat entre paral·lels és proporcional a l'increment de la llargada dels mateixos.

Per exemple, en una projecció cilíndrica en posició equatorial on, degut a l'esquema projectiu, els paral·lels aparenten sempre la mateixa llargada, aquesta circumstància significa que, de fet, la van incrementant progressivament respecte a la realitat del globus, on l'equador és l'única circumferència màxima i els paral·lels representen circumferències menors, cada cop de menor longitud fins a arribar als pols on corresponen a un simple punt, amb llargada zero. Si construïm una projecció cilíndrica equatorial conforme –com fa Mercator– on les distàncies entre els paral·lels vagin essent incrementades gradualment des de l'equador de forma matemàtica en la mateixa intensitat que ho han fet en cada moment els paral·lels, els valors angulars seran mantinguts intactes encara que, és clar, les magnituds superficials s'hauran anat incrementant (la conformitat és, doncs, oposada a l'equivalència). El paral·lel 90° que representaria un pol, hauria de seguir tenint teòricament, sobre aquest esquema de  projecció, la mateixa llargada que la resta dels paral·lels, quan en realitat posseeix una dimensió zero, per tant, hauria ja sofert una exageració infinita de la seva llargada. En conseqüència, per garantir la conformitat del lloc, aquest pol hauria de quedar distanciat de forma també infinita, cosa que vol dir que resulta irrepresentable.

La utilitat de la conformitat

Les qualitats de les projeccions representen principis matemàtics estrictes que, quan es produeixen, ho fan de forma absoluta. No és correcte, per exemple, parlar d'una projecció "bastant" conforme, encara que sí que resulta del tot pertinent mesurar i ponderar els diferents graus d'anamorfosi, fins i tot en les diverses zones de cada projecció en concret. De tota manera cal recordar que, en representacions de molt poca extensió superficial i a escales molt grans, el problema perd quasi sempre rellevància i la Terra pot esdevenir fins i tot plana a afectes pràctics. Però, evidentment, tant la conformitat com l'equivalència esdevenen qualitats més i més significatives quan el mapa representa grans extensions superficials i el problema de les alteracions dimensionals pren molta més significació pràctica. Llavors, les alteracions dimensionals en la major part de les zones del mapa poden arribar a invalidar-lo totalment, sobretot per a algunes aplicacions concretes.


En una projecció conforme, meridians i paral·lels s'han de tallar sempre perpendicularment, tal com ho fan en el globus, com en aquesta conforme cilíndrica oblíqua, encara que es tracta d'una condició necessària però no pas suficient: quan no es tallin perpendicularment significa un senyal inequívoc que no és conforme.

La qualitat de conformitat, amb el manteniment dels valors angulars verdaders sobre els mapes resulta generalment notable sempre que tractem de variables que impliquin de manera destacada les formes i, per tant, les direccions, com pot ser en el cas del reconeixement dels contorns del territoris, la circulació general atmosfèrica, els corrents marins o altres fluxos. Però pot resultar encara de major importància en la representació de recorreguts i grans desplaçaments i en l'àmbit general de la pròpia navegació, sobretot nàutica i aeronàutica, on la determinació correcte i precisa dels itineraris a partir dels rumbs i azimuts mesurats sobre les cartes esdevé de vital importància. En conseqüència, la confecció de les cartes nàutiques i aeronàutiques destinades als navegants es basa en projeccions conformes, idònies per a la pràctica de la navegació, seguint les rutes òptimes determinades prèviament sobre cartes en projecció gnomònica.

Temes relacionats

mapa
projecció afilàctica
projecció azimutal
projecció cilíndrica
projecció cònica
projecció especial
projecció equidistant
projecció equivalent
xarxa geogràfica

Referències

ROBINSON, A. H. i SANDER, J. P. (ed.): Matching the Map Projeccion to the Need. American Congress on Surveying and Mapping, 1991. ISBN: 0-9613459-5-0.

SNYDER, John P.: Flattening the Earth. Two Thousand Years of Map Projections. Chicago, Londres, The University of Chicago Press, 1993. ISNB: 0-226-76746-9.

STRAHLER, Arthur N. i STRAHLER, Alan H.: Modern Physical Geography. Nova York, John Wiley & Sons, 1987 (3a). Trad. en castellà: Geografía física. Omega, 1989. ISBN: 84-282-0847-6.

Lectures recomanades

RABELLA i VIVES, Josep M.: “Mil projeccions per a un mapamundi”, a Revista Catalana de Geografia,núm. 11. Barcelona,Institut Cartogràfic de Catalunya, 1990. ISSN: 0210-6000.