• Imprimeix

Projecció equivalent

Autor: Dr. Josep Maria Rabella. Universitat de Barcelona
Promotor: Institut Cartogràfic de Catalunya, 2013

Sinònims complementaris: projecció equiàrea, projecció equiareal; projecció autàlica.
cs proyección equivalente; fr projection équivalente; it proiezione equivalente; en equivalent projection; de flächentreue Abbildung

SUMARI

  1. Projeccions equivalents en totes les famílies
  2. L'equivalència, radicalment oposada a la conformitat
  3. La utilitat de l'equivalència
  4. Temes relacionats
  5. Referències
  6. Lectures recomanades

Projecció cartogràfica dotada de la qualitat de l'equivalència, de manera que manté intacta la proporcionalitat entre els valors de les magnituds superficials de les àrees que hi són representades respecte a les del territori.

El principi d'equivalència no tan sols es presenta sempre del tot incompatible amb el de conformitat sinó que, a més, ambdós són, entre ells, matemàticament contradictoris, oposats. Per tant, podem afirmar amb contundència que mai cap projecció pot resultar, a la vegada, equivalent i conforme. 

Compensant adequadament les dimensions d'un territori, pot arribar a ser possible mantenir inalterables les magnituds superficials, és a dir, obrant exactament a la inversa de com es fa per a mantenir la conformitat.

Projeccions equivalents en totes les famílies

Existeixen diverses propostes equivalents en totes les famílies de projeccions, azimutals, còniques, cilíndriques i sobretot especials, que poden ser obtingudes mitjançant mètodes geomètrics o matemàtics. En la família de les azimutals destaca la projecció azimutal equivalent de Lambert (1772), ideal per a mapamundis en dos hemisferis. En la família de les còniques també trobem la projecció cònica equivalent de Lambert, que pot ser millorada amb dos paral·lels de referència, repartint compensadament i inevitable. Dins la família de les cilíndriques, la projecció cilíndrica equivalent en posició equatorial, també deguda a Lambert, és la més coneguda, i dóna lloc a un planisferi extremadament apaïsat (i fàcil de traçar projectant ortogonalment des d'una projecció ortogràfica del globus). Si en lloc de partir de l'equador, com fa Lambert, s'opta per millorar el mapa repartint l'inevitable anamorfosi amb l'estratègia de les projeccions secants, i s'escullen parelles de paral·lels de referència homòlegs, s'obtenen mapes més compensats, com el de Behrmann (amb els paral·lels 30°), el de Smyth (37° 4'), el de Trystan Edwads (37° 24'), el de Hobo-Dyer (37° 30'), el de Gall orthographic-Peters (45°), i el de Balthasart 50°). En la família de les especials existeixen nombrosíssimes opcions pensades també quasi sempre per a planisferis oblongs i apaïsats, com la popular projecció de Mollweide, de contorn el·líptic, amb altres interessants derivacions recentrades com l'Atlantis i la Nordic, emprades per Bartholomew, o la projecció de Bonne (segle XVI) en forma de cor,; la projecció sinusoïdal, interesant fórmula a la vegada equidistant; la projecció homolosina, combinació artificiosa de l'anterior amb la de Mollweide; la projecció de Hammer (1892); diverses propostes d'Eckert, etc., a part de les infinites derivacions possibles i existents en cada grup.

La projecció sinusoïdal pot exemplificar una equivalent, amb forta anamorfosi en allunyar-se dels eixos centrals, que podria ser força atenuada mitjançant convertir-la en una projecció discontínua.

 

L'equivalència, radicalment oposada a la conformitat

El manteniment de l'equivalència en les projeccions es basa sempre en la compensació superficial, mitjançant la modificació de les dimensions, és a dir, produint anamorfosis, exactament amb la lògica oposada a com s'obté la conformitat. És a dir, en el context d'un determinat tipus de model de projecció, l'equivalència pot ser aconseguida fent que els increments dimensionals inevitables en una direcció siguin compensats amb decreixements adequats d'una altra.

Per exemple, en una projecció cilíndrica en posició equatorial on, degut a l'esquema projectiu, els paral·lels aparenten sempre la mateixa llargada, aquesta circumstància significa que aquests, de fet, es van incrementant progressivament respecte a la realitat del globus, on l'equador és l'única circumferència màxima i els paral·lels representen circumferències menors, cada cop de menor longitud fins a arribar als pols on corresponen a un simple punt, amb dimensió zero. Si construïm una projecció cilíndrica equatorial equivalent –com fa Lambert– on les distàncies entre els paral·lels vagin sent reduïdes gradualment des de l'equador, de forma matemàtica, compensant adequadament en cada moment l’allargament dels paral·lels, les dimensions superficials podran ser mantingudes intactes encara que, és clar, les anamorfosis (les alteracions angulars, els biaixos) s'hauran anat incrementant (l'equivalència és, doncs, oposada a la conformitat). El paral·lel 90°, que representaria un pol, haurà de seguir tenint, sobre aquest esquema de  projecció, la mateixa llargada que la resta dels paral·lels, quan en realitat posseeix una dimensió zero, per tant haurà ja experimentat una exageració infinita de la seva llargada. En conseqüència, per garantir l’equivalència del lloc, el decreixement de l'últim espaiat entre paral·lels arribats al pol haurà de ser total.

Esquema lògic de la construcció de la projecció cilíndrica equivalent de Lambert en posició equatorial: la reducció cap als pols de l'espaiat entre paral·lels és proporcional a l'increment de la llargada dels mateixos.

Les qualitats de les projeccions representen principis matemàtics estrictes que, quan es produeixen, ho fan de forma absoluta. No és correcte, per exemple, parlar d'una projecció "bastant" equivalent, encara que sí que resulta del tot pertinent mesurar i ponderar els diferents graus d'alteració de les dimensions superficials, fins i tot en les diverses zones de cada projecció en concret. De tota manera cal recordar que, en representacions de molt poca extensió superficial i a escales molt grans, el problema perd quasi sempre rellevància i la Terra pot esdevenir fins i tot plana a afectes pràctics. Però, evidentment, tant l'equivalència com la conformitat esdevenen qualitats més i més significatives quan el mapa representa grans extensions superficials i el problema de les alteracions dimensionals pren molta més significació pràctica. En alguns casos, les anamorfosis en la major part de les zones del mapa poden arribar a invalidar-lo totalment, sobretot per a algunes aplicacions concretes. Llavors, els recentraments i les projeccions traçades discontinues poden pal·liar, fins a cert punt, aquests problemes. 

Severes anamorfosis resultat d'haver aplicat al mapa una projecció cilíndrica equivalent de Gall-Peters.

 

La utilitat de l'equivalència

Les projeccions equivalents són idònies, degut a la seva naturalesa, per a mostrar i permetre comparar diferents espais territorials, sobretot quan posem l'èmfasi en la seves dimensions superficials, com ara la dels estats o altres unitats administratives, superfícies de diferents conreus o zones d'usos i cobertures del sòl, mapes per a qualssevol tipus de densitats, extensions afectades per algun determinat fenomen, balanços de continentalitat i oceanitat i, en general, per a mapes d'estadístiques territorials de grans àrees i a petita escala com els planisferis i mapamundis, etc. Però l'equivalència, atesa la falta de conformitat que, necessàriament, comporta sobretot a escales mitjanes i petites, resultarien absolutament desaconsellables en cartes nàutiques o aeronàutiques, sobre les quals el navegant necessita determinar amb precisió i per damunt de tot els rumbs  i azimuts, o en mapes on les direccions i els itineraris i, en general, els valors angulars tinguin un destacat protagonisme en relació amb el tema tractat (els vents, els corrents marins, etc.).

Temes relacionats

mapa
mapamundi
planisferi
projecció afilàctica
projecció azimutal
projecció cilíndrica
projecció cònica
projecció especial
projecció equidistant
projecció equivalent
xarxa geogràfica

Referències

ECKERT-GREIFENDORFF, Max: Karterkunde. Berlín, Walter de  Gruyter, 1950. Trad. al castellà: Cartografía. Mèxic, Barcelona, U.T.E.H.A., 1961.

ROBINSON, A. H. i SNYDER, J. P. (ed.): Matching the Map Projeccion to the Need. American Congress on Surveying and Mapping, 1991. ISBN: 0-9613459-5-0.

SNYDER, John P.: Flattening the Earth. Two Thousand Years of Map Projections. Chicago, Londres, The University of Chicago Press, 1993. ISBN: 0-226-76746-9.

STRAHLER, Arthur N. i STRAHLER, Alan H.: Modern Physical Geography. Nova York, John Wiley & Sons, 1987 (3a). Trad. en castellà: Geografía física. Omega, 1989. ISBN: 84-282-0847-6.

Lectures recomanades

RABELLA i VIVES, Josep M.: “Mil projeccions per a un mapamundi”, a Revista Catalana de Geografia,núm. 11. Barcelona,Institut Cartogràfic de Catalunya, 1990. ISSN: 0210-6000.