Fractal

Autor: Dr. Joan Nunes. Universitat Autònoma de Barcelona
Promotor: Institut Cartogràfic de Catalunya, 2013

 

Una fractal és una forma geomètrica complexa (un conjunt en termes matemàtics) que té les propietats d'autosimilitud a diferents escales d'observació, definició simple i recursiva per repetició d'un mateix patró de forma característic, fragmentació i irregularitat, i que posseeix una dimensió fractal superior a la seva dimensió topològica.

Malgrat que el tret més aparent de les fractals és l'autosimilitud a diferents escales, no totes les formes autosimilars són fractals. Segons la definició del matemàtic francès Benoît Mandelbrot, que en va establir la formulació actual el 1975, el tret que defineix una fractal és posseir una dimensió fractal superior a la dimensió topològica.

Les fractals són formes teòriques, no objectes reals, encara que a la natura es donen patrons de forma que presenten característiques aproximadament semblants a les de les fractals, com per exemple els flocs de neu, les fulles dels vegetals, les xarxes hidrogràfiques o les serralades muntanyoses, entre d'altres. En aquest sentit, i malgrat la recerca que han suscitat, no hi ha evidències concloents sobre la capacitat efectiva de les fractals per a modelitzar els fenòmens geogràfics.

Exemple de fractal: el conjunt de Mandelbrot (imatge ampliada que mostra el detall de la "cua del cavallet de mar").
Font: http://en.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot_set

El càlcul de la dimensió fractal i d'altres característiques de les fractals forma el que s'anomena anàlisi fractal, que té aplicacions en nombrosos camps científics o tecnològics, com és ara l'anàlisi del so, de les fluctuacions de mercat, del ritme cardíac, del moviment molecular, d'imatges digitals, de patrons de senyals de telecomunicacions i disseny d'antenes. La presència de formes aproximadament fractals s'ha detectat també en diferents tipus d'obres artístiques (pintura, arquitectura, música) i d'artesania (teixits i escultures de cultures africanes), alhora que la producció de formes fractals ha estat utilitzada també com a forma d'expressió creativa en el que s'anomena art fractal.

Les aplicacions més habituals de les fractals en el context de la informació geoespacial són, d'una banda, el càlcul de la dimensió fractal com a mesura relativa de la complexitat de les formes dels fenòmens geogràfics, com és ara la línia de costa o les formes del relleu, i, d'altra banda, l'ús de les corbes d'ompliment per a construir índexs espacials. En ecologia del paisatge, i en general en anàlisi espacial, la dimensió fractal s'utilitza també com a mesura descriptiva de la complexitat de la configuració espacial del paisatge o en general d'una distribució espacial. Alguns programes de sistemes d’informació geogràfica ofereixen el càlcul de la dimensió fractal com una funcionalitat més d'anàlisi espacial.

 

Origen

El concepte matemàtic de fractal té com a antecedents més remots els treballs de Leibnitz, en el segle XVII, entorn de les idees d'autosimilitud recursiva i d'exponents fraccionaris per a la caracterització de formes geomètriques, i posteriorment evolucionà en el segle XIX a través de l'estudi de les funcions contínues no diferenciables, amb treballs destacats com els de Georg Cantor i d'altres, entre els quals Felix Klein i Henri Poincaré, que produïren la formulació dels primers casos de conjunts amb les propietats de les fractals, així com els de Giuseppe Peano i David Hilbert, que definiren les corbes d'ompliment, avui considerades fractals. Dins del segle XX, Helge von Koch, Waclaw Sierpinsky i d'altres formularen nous casos de fractals i una millor definició d'algunes de les propietats característiques de les fractals en termes geomètrics. Particularment rellevants són també les aportacions de Felix Haussdorf, en definir el concepte de dimensió fractal cabdal per a la definició actual de fractal, i de Paul Pierre Lévy (1938), en definir el concepte de corba autosimilar.

Exemple clàssic de la paradoxa de la línia de costa o efecte de Richardson, que inspirà el famós article de Mandelbrot (1967) sobre la longitud de la costa britànica, amb el qual inicià la definició de les corbes fractals i de la geometria fractal: com  més petita és la unitat de mesura emprada, més gran resulta la longitud (a l'exemple de les figures, la unitat de mesura és respectivament 200, 100 i 50 km, i les longituds de la línia de costa britànica resultats són 2350, 2775 i 3425 km.  Font: http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_fractals_by_Hausdorff_dimension 

El terme fractal, no obstant, així com la consolidació del concepte és obra del matemàtic francès Benoît Mandelbrot (1975, 1977), que inspirant-se en treballs previs de Lewis Fry Richardson (1950) començà a aplicar els conceptes d'autosimilitud i dimensió fractal a l'estudi de formes naturals, com la línia de costa en el seu famós article sobre la longitud de la costa britànica (Mandelbrot, 1967), i acabà desenvolupant la geometria fractal, tot il·lustrant la definició matemàtica de fractal amb impactants visualitzacions construïdes mitjançant gràfics per ordinador (Mandelbrot, 1982). El treball de Mandelbrot ha estat decisiu per a despertar l'interès per la recerca sobre aplicació de les fractals a l'estudi de formes naturals, així com per a la popularització del concepte intuïtiu de fractal com a forma autosimilar recursiva.

Definició

Segons Mandelbrot (1982) una fractal es pot descriure com "una forma geomètrica fragmentada que es pot dividir en parts, cadascuna de les quals és (almenys aproximadament) una còpia reduïda de la totalitat de la forma". El concepte matemàtic de fractal, però, és difícil de definir formalment fins i tot per als matemàtics, ja que no hi ha un complet acord sobre com s'ha de definir. No obstant, hi ha un consens general sobre el conjunt de propietats que han de complir. Així, les fractals són formes infinitament autosimilars, recursives i detallades que tenen una dimensió fractal, és a dir no entera. El concepte habitual de fractal denota formes geomètriques, però en termes matemàtics és abstracte i es pot aplicar també a la descripció de processos en el temps.

Cap d'aquestes propietats característiques és suficient per si sola per a definir una fractal. Així, formes autosimilars trivials, no detallades, no es poden considerar fractals. Semblantment, l'autosimilitud o reproducció del mateix patró de forma a diferents escales ha de ser infinita. Els fenòmens naturals són, en aquest sentit, aproximadament fractals ja que l'autosimilitud es dóna només en un rang finit d'escales.

Autosimilitud: les sis primeres etapes de la construcció de la corba coneguda com el floc de neu de Koch, que mostren la repetició del patró comú de la corba a diferents escales,  Font: http://en.wikipedia.org/wiki/Fractal

 

Les fractals són funcions contínues no diferenciables, la qual cosa vol dir que no es poden mesurar de forma convencional. Així, per exemple, la longitud entre dos punts d'una corba fractal és infinita pel fet que el patró detallat de forma es repeteix infinitament, de manera que la "mesura" és només aproximada i varia segons l'escala. Aquest fet s'exemplifica en la incertesa sobre la longitud d'una línia de costa, que, d'acord amb la paradoxa de Richardson, augmenta conforme es mesura a escales més detallades.

La dimensió fractal, tot i no ser suficient per a la definició de fractal, és possiblement la propietat més essencial, tant per a la comprensió del concepte com per a la quantificació de la naturalesa fractal. La dimensió fractal és defineix com un ràtio que mesura la complexitat d'una forma comparant el nombre de unitats que mesura la forma i el factor d'escala a què es mesura. Aquest ràtio, en forma simple, es basa en l'expressió:

 

on  

D    és la dimensió fractal
N    és el nombre d'unitats que mesura la forma, que poden ser de longitud, de superfície, etc. segons la dimensió topològica de la forma
ϵ     és el factor d'escala a què es mesura la forma, expressat com a fracció indicativa de la relació entre la unitat de mesura emprada i la mida total de la forma (p.e., 1/3 si la unitat de mesura és un terç de la mida total)

Generalitzant l'expressió anterior per a un objecte que es pot mesurar a infinites escales successivament més detallades (és a dir, amb unitats de mesura cada cop més petites, tendint a 0), la dimensió fractal es calcula com a límit, segons la fórmula següent:

 

No hi ha una única definició matemàtica universal per a calcular la dimensió fractal, però la més important i coneguda és la dimensió de Haussdorf, de formulació més complexa que la indicada. Qualsevol formulació de la dimensió fractal només és vàlida per a objectes fractals teòrics. En el cas dels objectes reals la dimensió fractal és una aproximació calculada de forma estadística.

Intuïtivament la dimensió fractal indica fins a quin punt una fractal sembla omplir l'espai a mesura que es passa a escales successives de més detall i que, per tant, la funció corresponent tendeix al límit.

La dimensió topològica, per la seva part, és el nombre mínim de paràmetres per a descriure la posició i les característiques rellevants d'un objecte en un espai. És a dir, el nombre de direccions en què s'estén o es pot mesurar un objecte, tal com correspon a la noció intuïtiva: 0 per als punts, 1 per a les línies, 2 per als polígons i les superfícies, 3 per als volums, etc. Més estrictament, la dimensió topològica es defineix en termes matemàtics com el menor enter possible, n, tal que per a tota partició oberta de l'espai existeix un refinament de manera que cap punt és contingut en més de n+1 subconjunts, o, en forma més simple, com la cardinalitat de la base d'un espai vectorial, és a dir, el nombre mínim de vectors que formen la base. Ambdues definicions coincideixen a efectes pràctics amb el concepte ordinari de dimensió en els espais comuns.

A diferència de la dimensió topològica, que sempre és un nombre enter, la dimensió fractal és una mesura contínua que varia entre la dimensió topològica de l'objecte i la dimensió topològica immediatament superior. Per exemple, per a una recta o una corba la dimensió topològica i la dimensió fractal són iguals a 1; per a un element lineal de forma complexa la dimensió topològica és 1, però la dimensió fractal estarà compresa entre 1 i 2, i per a una corba d'ompliment com la corba de Peano o la corba de Hilbert la dimensió topològica és 1, mentre que la dimensió fractal és 2. Aquesta capacitat d'omplir l'espai, expressat en forma de dimensió no entera, és un dels trets definidors de la naturalesa de les fractals, en tant que formes complexes a mig camí entre la seva dimensió aparent i la d'ordre superior.

Paisatges fractals

Molts fenòmens naturals presenten un cert grau d'autosimilitud estadística i una dimensió fractal no entera que els aproxima als objectes fractals, però només de forma limitada. Entre les principals limitacions hi ha el fet que els fenòmens naturals solen presentar autosimilitud només sobre un rang finit d'escales diferents, sovint reduït. Així, pel que fa als fenòmens geogràfics, les línies de costa, per exemple, només son autosimilars sobre un nombre petit d'ordres de magnitud en la variació d'escala. Concretament, el conegut cas de la línia de costa britànica només és autosimilar en dos ordres de magnitud (Richardson, 1961).

Semblantment, en el cas de la superfície del terreny, un altre fenomen que ha estat objecte d'un bon nombre de treballs encaminats a modelitzar-la mitjançant fractals (Burrough, 1981; Mark and Aronson, 1984), la variació és massa complexa com per mantenir l'autosimilitud a diferents escales. En particular, la variació de la superfície del terreny presenta diferents patrons de comportament a escales diferents, la qual cosa s'allunya per definició del concepte de fractal. Així, els processos geològics que actuen per a conformar la superfície del terreny a escala de les plaques tectòniques no tenen gaire a veure amb els processos d'erosió fluvial o glaciar ni amb les condicions meteorològiques que modelen les formes a escales mitjanes, com tampoc amb els processos d'erosió local que acaben donant lloc a les formes geomorfològiques a petita escala, de manera que la possibilitat d'autosimilitud, ni tan sols aproximada, de les formes del terreny a diferents escales és més aparent que real. Per aquest motiu, la dimensió fractal, que es calcula com a valor global a través de tot el rang d'escales, en els casos reals de superfície del terreny, en lloc de donar un valor comprès entre 2 i 3, com correspondria a una superfície fractal, pot donar tant valors superiors a 3 com valors de signe negatiu.

La superfície del terreny presenta, a més, un comportament estadístic variable a través de l'espai, mentre que una funció fractal de superfície és en canvi estadísticament estacionària i per tant presenta les mateixes propietats estadístiques arreu de l'espai. La superfície del terreny, d'altra banda, té molt pocs mínims i en canvi molts màxims, mentre que les funcions fractals tenen en promig tants mínims com màxims.

La possibilitat, per tant, de modelització del terreny mitjançant fractals és escassa (Lewis, 1990), però en canvi la capacitat de simulació de formes semblants a les del terreny mitjançant fractals és considerable. La simulació del terreny mitjançant fractals produeix el que s'anomenen paisatges fractals; és a dir paisatges amb aparença visual natural. Per tal de simular el terreny, en lloc d'emprar funcions fractals de superfície deterministes, s'utilitzen funcions estocàstiques que presenten un comportament fractal que mimetitza l'aparença del terreny.

Una de les primeres propostes de simulació del terreny mitjançant fractals fou formulada pel mateix Mandelbrot mitjançant el moviment brownià fraccionari (Mandelbrot and van Ness, 1968), que és un model matemàtic de fractal aleatori que estén, per a aplicacions a fenòmens naturals, la funció aleatòria de moviment brownià emprada en matemàtiques i en física per a modelitzar processos mitjançant fractals (Family and Vicsek, 1991).

Simulació del terreny mitjançant fractals: etapes successives per a generar una superfície amb aspecte de muntanya. Font: http://en.wikipedia.org/wiki/Fractal_landscape

Amb posterioritat, s'han desenvolupat nombrosos algorismes per a generar paisatges fractals. Alguns dels més coneguts són l'algorisme de desplaçament aleatori del punt mig, que descompon iterativament un quadrat en quatre quadrats i en desplaça l'elevació del punt mig afegint o restant una certa quantitat aleatòria, i l'algorisme de soroll de Perlin (Musgrave, 1993).

No obstant, per les divergències notables que presenta el comportament de la superfície del terreny al llarg de l'espai i a través de múltiples escales, les funcions fractals aleatòries simples resulten poc apropiades per a simular les formes del paisatge . Així, per a reproduir formes del terreny amb aparença natural es requereixen procediments que puguin modular el comportament fractal a través de l'espai. En general, doncs, per a crear paisatges fractals s'utilitzen processos més que funcions, que sacrifiquen tant l'estacionarietat com el comportament fractal de la superfície resultant, en benefici de la major versemblança de les formes del paisatge resultants i per tant no es tracta de fractals pròpiament dites. Les tècniques més sofisticades són les anomenades multifractals (van Lawick van Pabst and Hans, 1995), que utilitzen funcions de dimensió fractal  diferents per a diferents escales per tal d'adaptar-se i reproduir millor al comportament real de la superfície del terreny.

Quan, a més de les formes, es simulen també mitjançant variacions de textura les diverses cobertes del sòl sobre la superfície del terreny, els resultats són força convincents. Fins al punt que la distinció entre imatges sintètiques d'ordinador i natura es difumina (Shearer, 2002). Això no obstant, en tant que simulacions fictícies, els paisatges fractals tenen aplicació principalment en la creació artística, en la indústria cinematogràfica i en la dels videojocs, més que aplicacions científiques o tècniques de modelització o d'estudi del relleu i del paisatge real, encara que la investigació en la simulació del paisatge mitjançant fractals ha contribuït a un millor coneixement del comportament estadístic de la superfície del terreny.

Exemple de paisatge fractal d'aspecte realista. Font: http://en.wikipedia.org/wiki/Fractal_landscape

 

Temes relacionats

• Anàlisi espacial
• Corba d'ompliment
• Sistemes d’informació geogràfica

Referències

Burrough, P. (1981) "Fractal dimensions of landscapes and other environmental data", Nature, 294,240-243.

Family, F. and Vicsek, T. (1991) (eds.) Dynamics of Fractal Surfaces. Singapore: World Scientific Publishing.

Lévy, P. (1938) "Les courbes planes ou gauches et les surfaces composée de parties semblales au tout", Journal de l'École Polytechnique: 227–291.

Lewis, J.P. (1990) Is the Fractal Model Appropriate for Terrain?. Disney's Secret Lab.
http://scribblethink.org/Work/caseagainstfractals.pdf.

Mandelbrot, B. (1967) "How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension", Science, New Series, 156, 3775, 636-638.

Mandelbrot, B. (1975) Les Objects Fractals: Forme, Hasard et Dimension. 4ème édition (1999). Paris: Flammarion.

Mandelbrot, B. (1977)  Fractals: Form, Chance and Dimension. New York: W.H.Freeman & Company.

Mandelbrot, B. (1982) The Fractal Geometry of Nature. New York: W. H. Freeman & Company.

Mandelbrot, B. and van Ness, J.W. (1968) "Fractional Brownian motions, fractional noises and applications", SIAM Review, 10, 4, 422–437.

Mark, D. and Aronson, P. (1984) "Scale-dependent fractal dimensions of topographic surfaces", Mathematical Geology, 16, 7, 671-683.

Musgrave, K. (1993). "Methods for Realistic Landscape Imaging", PhD thesis, Yale University, New Haven, CT, USA. http://www.kenmusgrave.com/dissertation.pdf.

Richardson, L.F. (1950). Statistics of deadly quarrels. Pacific Grove, California: Boxwood Press.

Richardson, L.F. (1961). "The Problem of Continuity". General Systems Yearbook, 6, 139, 139-187.

Shearer, R.R. (2002) "Rethinking Images and Metaphors: New Geometries as Key to Artistic and Scientific Revolutions" in Galaburda, A.M.; Kosslyn, S.M. and Christen, Y. (eds.) The languages of the brain. Harvard, Massachussets: Harvard University Press.

van Lawick van Pabst, J. and Hans, J. (1995) "Dynamic Terrain Generation Based on Multifractal Techniques" in Proceedings International Workshop on High Performance Computing for Computer Graphics and Visualization.
https://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.116.266&rep=rep1&type=pdf

http://en.wikipedia.org/wiki/Fractal   [consulta 14 setembre 2012]

http://en.wikipedia.org/wiki/Fractal_landscape   [consulta 14 setembre 2012]

http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_fractals_by_Hausdorff_dimension   [consulta 14 setembre 2012]

http://en.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot_set   [consulta 14 setembre 2012]

Lectures recomanades

Burrough, P. (1981) "Fractal dimensions of landscapes and other environmental data", Nature, 294,240-243.

Mandelbrot, B. (1982) The Fractal Geometry of Nature. New York: W. H. Freeman & Company.