Krigatge

Autor: Dr. Joan Nunes. Universitat Autònoma de Barcelona
Promotor: Institut Cartogràfic de Catalunya, 2013

 

El krigatge (kriging) és un conjunt de mètodes d'interpolació espacial emprats en geoestadística per a estimar els valors d'una variable de superfície en posicions desconegudes a partir dels valors coneguts d'observacions en punts de mostreig propers. Els diferents mètodes de krigatge són mètodes estocàstics d'interpolació perquè tracten la variable de superfície com una variable aleatòria o procés estocàstic. El krigatge es basa en la teoria de variables regionalitzades per a incorporar informació sobre els aspectes estocàstics de la variació espacial en el càlcul de les funcions de ponderació per a la interpolació.

La interpolació per krigatge es basa en un algorisme generalitzat de millor estimació lineal no esbiaixada, que utilitza semivariogrames per a establir les funcions de ponderació i que fa servir la variància mínima dels errors d'interpolació com a criteri de millor estimació lineal no esbiaixada. El krigatge té l'avantatge de ser l'únic mètode d'interpolació que proporciona una manera de caracteritzar la variància de l'error de les estimacions.

El krigatge constitueix una de les bases de la geoestadística, i té nombroses aplicacions en prospecció minera, anàlisi geològica, anàlisi de sòls, anàlisi de contaminants o epidemiologia, entre d'altres. La denominació krigatge (kriging) prové del nom de l'enginyer de mines sud-africà Daniel G. Krige, que en va fer les primeres aplicacions per a predir la localització i qualitat dels dipòsits de minerals a Witwatersrand, Sudàfrica. Posteriorment se n'han desenvolupat un gran nombre de variants.

                  

Origen

El concepte formal i el terme krigatge (en l'original francès, krigeage), fou desenvolupat per l'enginyer de mines francès Georges Matheron (1960, 1962, 1963) a partir de la tesi de màster,A statistical approach to some mine valuations and allied problems at the Witwatersrand, del geòleg sudafricà Daniel G. Krige, aplicada a la predicció de la localització, contingut i qualitat dels dipòsits de minerals (Krige, 1951). L'origen i desenvolupament del krigatge i del cos teòric de la geoestadística han estat ressenyats per Cressie (1990).

Definició

El krigatge és un mètode d'interpolació exacta que pertany a la família d'algorismes d'estimació lineal per mínims quadrats. La finalitat del krigatge és estimar el valor d'una funció f desconeguda en un punt x*, donats els valors observats de la funció en altres punts, x₁,....,x_n. El krigatge es considera un mètode d'estimació lineal perquè el valor estimat és una combinació lineal (és a dir, una suma ponderada) dels valors observats.

 

Els pesos  són les solucions d'un sistema d'equacions lineals que s'obté assumint que f és una de les possibles realitzacions d'un procés aleatori F(x) que minimitza l'error d'estimació.

 

Per exemple, en el cas del krigatge simple, s'assumeix que la mitjana i la covariància de F(x) són conegudes i l'estimació per krigatge és la que minimitza la variància dels errors d'estimació.

Exemple d'interpolació univariant mitjançant krigatge. Els quadrats indiquen els punts de valor conegut, la corba interpolada per krigatge apareix en vermell i els límits de l'interval de confiança en verd. El krigatge se sol aplicar més sovint a la interpolació de superfícies (en funció de les posicions en el pla, definides per coordenades x,y), però també es pot aplicar a la interpolació de corbes (en funció de posicions al llarg d'una recta, definides per una sola coordenada). Convé notar que la corba interpolada passa pels punts de valor conegut, cosa que indica que el krigatge és un mètode d'interpolació exacta. Font: https://en.wikipedia.org/wiki/Kriging

El mètode de krigatge interpola el valor Z(x_ ) d'una variable aleatòria Z(x), com per exemple la permeabilitat del sòl entesa com a funció de la localització, en una posició x_  no observada a partir de les observacions z_i = Z(x_i)  de la variable aleatòria en una mostra de posicions  x₁,...., x_n. El krigatge calcula el millor estimador lineal no esbiaixat  del valor veritable Z(x_ ) basant-se en un model estocàstic de dependència espacial de la variable d'interès que es pot quantificar per mitjà de la semivariància , obtinguda del semivariograma experimental, o bé per mitjà del valor esperat  i de la funció de covariància c(x,y) de la variable aleatòria.

Tal com s'ha indicat, l'estimador del mètode krigatge es defineix com una combinació lineal dels valors observats:

 

on
Z(x_i)    són els valors veritables de Z a les posicions x₁,...., x_n, iguals als valors observats z_i
w_i(x_ )  són els pesos a aplicar a cada observació i per al càlcul de Z en cada posició x_  (és a dir, diferents per a cada observació i i per a cada posició x_  objecte de càlcul)

El que és específic del mètode de krigatge és que els pesos de la combinació lineal de la funció d'estimació s'estableixen de manera que la variància dels errors d'estimació, anomenada variància de krigatge:

 

  

sigui mínima sota la condició d'estimació no esbiaixada:

 

Mètodes de krigatge

Els diversos mètodes de krigatge es diferencien segons les propietats assumides per a modelitzar la variable aleatòria. Cada mètode de krigatge determina la restricció lineal  que determina la condició d'estimació no esbiaixada i el mètode per a calcular els pesos

Els principals mètodes de krigatge són els següents:

• Krigatge simple
• Krigatge ordinari o de punts
• krigatge per blocs
• krigatge estratificat
• krigatge multivariable
• krigatge universal
• krigatge indicador
• krigatge indicador múltiple
• krigatge no lineal o lognormal
• krigatge probabilístic
• krigatge disjuntiu
• cokrigatge

 

Krigatge simple

El krigatge simple és el mètode de krigatge més senzill de càlcul però el menys general de tots. El krigatge simple assumeix que el valor esperat de la variable aleatòria és conegut i utilitza una funció de covariància per al càlcul de la funció d'interpolació. Generalment, però, ni el valor esperat ni la covariància es coneixen a priori. En termes pràctics, el krigatge simple calcula l'estimació mitjançant una regressió lineal generalitzada.

Supòsits del krigatge simple

Els supòsits per a l'aplicació del mètode d'interpolació de krigatge simple són els següents:

• estacionarietat intrínseca (o feble) de la variable aleatòria.
• valor esperat
  
   arreu.
• funció de covariància coneguda c(x,y) = Cov(Z(x),Z(y))

Equació del krigatge simple

Els pesos del mètode de krigatge simple, que compleixen la restricció d'estimació no esbiaixada, es calculen mitjançant el sistema d'equacions següent, que es basa en la matriu de covariàncies entre les observacions: 

La determinació dels pesos del mètode de krigatge simple segons l'expressió anterior és anàloga a una regressió lineal del valor desconegut Z(x_ )  sobre el conjunt de valors coneguts z₁,....,z_n.

Interpolació mitjançant krigatge simple

La interpolació mitjançant el mètode de krigatge simple es calcula per mitjà de l'equació següent, en què el producte matricial de la matriu de pesos pel vector de valors observats dóna lloc a la combinació lineal (suma ponderada) dels valors observats aplicant-los els pesos corresponents:

Error en el krigatge simple

L'error d'estimació de la interpolació pel mètode de krigatge simple s'avalua mitjançant la variància de l'error de les estimacions o variància de krigatge:

 

que es pot reformular segons la versió generalitzada de mínims quadrats del teorema de Gauss-Markov (Chilès and Delfiner, 1999).

Krigatge ordinari o de punts

El krigatge ordinari o krigatge de punts és la variant més utilitzada de krigatge. El krigatge ordinari ajusta semivariogrames de manera local a un subconjunt de punts de mostreig i determina els pesos de la funció d'interpolació a partir de la matriu de semivariàncies entre parells de punts de mostreig i del vector de semivariàncies entre els punts de mostreig i el punt que cal estimar.

Supòsits del krigatge ordinari

Els supòsits per a l'aplicació del mètode d'interpolació de krigatge ordinari són els següents:

• estacionarietat intrínseca (o feble) de la variable aleatòria.
• nombre suficient d'observacions per a construir el semivariograma experimental.
• la mitjana de la variable aleatòria  E[Z(x)] = μ  és desconeguda però constant
• la semivariància de les diferències entre parells d'observacions de Z(x),  γ(x,y) = E[Z((x)- Z(y))²], és coneguda

Equació del krigatge ordinari

Els pesos del mètode de krigatge ordinari, λ_i, compleixen la restricció no esbiaixada

i es calculen mitjançant el sistema d'equacions següent, que es basa en el semivariograma:

 

on
λ_i          és el pes a aplicar a cada observació i per al càlcul de Z
γ(x_i,x_j)  és la semivariància de les diferències de valor entre parells d'observacions i i j
μ          és un multiplicador de Lagrange utilitzat per a minimitzar la variància de krigatge

Interpolació mitjançant krigatge ordinari

La interpolació mitjançant el mètode de krigatge simple es calcula per mitjà de l'equació següent, en què el producte matricial del vector de pesos pel vector de valors observats dóna lloc a la combinació lineal dels valors observats ponderats pels pesos corresponents:

 

Error en el krigatge ordinari

L'error en el krigatge ordinari és la variància dels errors d'estimació, o variància de krigatge, definida per l'expressió:

 

El krigatge ordinari té com a propietats importants (Cressie, 1993; Wackernagel, 1995; Stein, 1999) el fet que:

• l'estimació que proporciona és no esbiaixada:
  
• és una interpolació exacta, ja que els valors estimats coincideixen amb els valors observats en els punts de mostreig:
  
• és la millor estimació lineal no esbiaixada de Z(x), sempre que es compleixen els supòsits
• proporciona una mesura de l'error (o de la precisió) de l'estimació, que és la variància de krigatge
  

No obstant, Cressie (1993) adverteix que por haver-hi millors estimacions mitjançant mètodes no lineals o esbiaixats, que el compliment dels supòsits és crític, que en cas d'utilitzar un semivariograma inadequat no es poden garantir les propietats encara que la interpolació doni aparentment bons resultats, i que en cas que no hi hagi dependència espacial la interpolació mitjançant krigatge ordinari no està justificada.

Altres mètodes de krigatge

Krigatge per blocs

El krigatge per blocs és una variant del krigatge ordinari que estima valors mitjans per a una àrea a l'entorn dels punts de valor desconegut, anomenada bloc, en lloc d'estimar els valors exactes per als punts, com en el krigatge ordinari. El krigatge per blocs sol reduir la variància de les estimacions i produir interpolacions més suavitzades

Krigatge estratificat

El krigatge estratificat és un krigatge ordinari o per blocs que calcula els semivariogrames i aplica la interpolació per separat en sectors resultants de classificar i dividir l'àrea analitzada segons informació addicional rellevant per a suposar una variació espacial diferenciada en diferents parts de l'àrea estudiada. El krigatge estratificat requereix, a més de la informació addicional per a classificar el territori, un nombre de punts de mostreig suficient en cada un dels sectors en què es divideix el territori. El krigatge estratificat sol produir resultats més acurats que el krigatge ordinari o per blocs, amb un error d'interpolació més baix.

Krigatge multivariable

És un mètode de krigatge, generalment ordinari, aplicat a dades resultants de transformacions multivariables de les dades originals objecte de mostreig i d'interpolació, com és ara les que s'obtenen d'una regressió múltiple o d'una anàlisi de components principals.

Krigatge universal

És un mètode de krigatge que incorpora coneixement sobre tendències externes en el procediment d'interpolació. El krigatge universal utilitza com a informació externa models de regressió empírics que prediuen la variable a estimar en funció d'altres variables, els quals s'incorporen a les equacions de càlcul del procediment de krigatge com a terme corresponent al component de variació estructural.

Aquest component de variació estructural pren la forma d'una funció superfície de tendència polinòmica de primer grau (lineal):

 

Krigatge indicador

El krigatge indicador és un mètode d'interpolació basat en funcions indicadores, que determinen la pertinència o no a un conjunt en forma binària. En el krigatge indicador les funcions indicadores s'utilitzen en lloc de la modelització del procés estocàstic per a estimar probabilitats de transició.

Krigatge indicador múltiple

És una versió del krigatge indicador que utilitza conjuntament diverses funcions indicadores. El krigatge indicador múltiple presenta, no obstant, dificultats d'operació i de validació del model, raó per la qual s'està deixant de banda com a mètode d'interpolació, substituït per altres tècniques més robustes com la simulació condicional.

Krigatge no lineal o lognormal

El krigatge no lineal o krigatge lognormal és l'aplicació dels mètodes de krigatge a dades transformades mitjançant logaritmes. El krigatge no lineal produeix estimacions del logaritme natural o decimal de la variable objecte d'interpolació, el qual es pot transformar inversament per a obtenir el valor estimat de la variable analitzada, per bé que sovint amb errors pel fet que la funció antilogaritme és un estimador esbiaixat.

Krigatge probabilístic

És un mètode de krigatge en què la interpolació calcula per a cada punt la probabilitat que el valor de la variable objecte d'estimació superi un determinat llindar, en lloc de produir la millor estimació per als punts desconeguts. Per a certes anàlisis o decisions el coneixement de la probabilitat d'excedir un determinat valor de referència pot ser suficient i més útil que el coneixement del propi valor.

El resultat de la interpolació mitjançant el krigatge probabilístic és la superfície contínua de la probabilitat que un atribut estigui per damunt o per sota d'un determinat llindar. Aquesta superfície de probabilitat sol presentar-se en forma de mapa temàtic anomenat mapa de probabilitats.

Krigatge disjuntiu

El krigatge disjuntiu és un tipus de krigatge probabilístic resultant d'aplicar el krigatge ordinari no lineal a les dades originals de mostreig transformades a una escala binària, segons si superen o no un determinat llindar fixat. El resultat de la interpolació per mitjà del krigatge disjuntiu són valors continus en el rang 0-1, que indiquen la probabilitat de superar o no el llindar de referència en cada punt de l'àrea interpolada. L'aplicació del krigatge disjuntiu variant el valor del llindar de referència permet avaluar la robustesa de la interpolació, és a dir, la independència relativa de les probabilitats obtingudes respecte dels valors llindar emprats. El krigatge disjuntiu és un cas de krigatge indicador.

Cokrigatge

El cokrigatge és un mètode de krigatge en el qual la distribució d'una segona variable altament correlacionada amb la variable d'interès i amb més densitat de punts de mostreig s'utilitza juntament amb la variable principal per a realitzar la interpolació, de manera que es compensa la manca de dades de la variable principal. El cokrigatge s'utilitza per a millorar els resultats d'una interpolació quan les dades de la variable principal són escasses, difícils, cares o impossibles de mesurar.

Mètodes relacionats

El krigatge, per finalitat, es relaciona amb la resta de mètodes d'interpolació, si bé es diferencia de la majoria d'aquests altres mètodes d'interpolació pel fet de modelitzar la variable de superfície com a procés aleatori.

En termes matemàtics el krigatge té punts en comú amb l'anàlisi de regressió, com és ara el fet de derivar un millor estimador lineal no esbiaixat, basar-se en supòsits sobre les covariàncies, utilitzar el teorema de Gauss-Markov per a provar la independència de l'estimació i de l'error, i utilitzar una formulació relativament semblant. La finalitat i el context d'aplicació, però, són força diferents.

En estadística general el mateix mètode emprat en el krigatge es coneix amb altres noms, com és ara regressió de procés gaussià, predicció de Kolmogorov Wiener o millor predicció lineal no esbiaixada.

La interpolació mitjançant krigatge es pot veure també com una funció d'spline de superfície, amb un nucli de reproducció definit per la funció de covariància. Ambdós mètodes, però, es diferencien en el propòsit. Així mentre l'spline persegueix una interpolació amb un mínim de restriccions en un espai de Hilbert, el krigatge pretén obtenir un error de predicció mínim basant-se en un procés estocàstic.

El krigatge té relació també, no solament per la finalitat sinó també per la metodologia, amb l'anàlisi de superfície de tendència. En concret, el krigatge simple obtingut per regressió és anàleg a l'ajust d'una superfície de tendència mitjançant polinomis de primer grau.

Finalment el krigatge es pot interpretar també com una forma d'inferència bayesiana, en la mesura que s'inicia assumint una distribució a priori de la variable aleatòria, que pren la forma d'un procés gaussià.

Aplicacions

Independentment que per origen el krigatge pertanyi al desenvolupament de la geoestadística i a les aplicacions d'exploració minera, amb el temps ha esdevingut un mètode estadístic d'interpolació aplicable en qualsevol disciplina que treballi amb dades espacials de variació contínua que satisfacin els supòsits del mètode.

Així, les aplicacions del krigatge han estat particularment destacades en geologia, prospecció minera i petroliera, meteorologia, hidrogeologia, edafologia, ciències ambientals, epidemiologia i geografia entre d'altres.

També, a nivell instrumental, s'ha aplicat en el processament d'imatges, en especial de teledetecció, a l'anàlisi de sèries temporals i en enginyeria com a substitutiu de simulacions per elements finits per tal d'accelerar processos de disseny i simulació.

Temes relacionats

• Geoestadística
• Interpolació espacial
• Semivariograma
• Superfície

Referències

Chilès, J.-P. and Delfiner, P. (1999) Geostatistics - Modeling Spatial Uncertainty, New York: John Wiley & Sons, Inc.

Cressie, N. (1990) "The Origins of Kriging", Mathematical Geology, 22, 239–252.

Cressie, N. (1993) Statistics for Spatial Data. New York: Wiley.

Krige, D.G. (1951) A statistical approach to some mine valuations and allied problems at the Witwatersrand, Master's thesis of the University of Witwatersrand.

Matheron, G. (1960) "Krigeage d'un Panneau Rectangulaire par sa Périphérie", Note Géostatistique No 28.

Matheron, G. (1962) Traité de géostatistique appliquée. Paris: Editions Technip.

Matheron, G. (1963) "Principles of geostatistics", Economic Geology, 58, 1246–1266.

Stein, M.L. (1999) Statistical Interpolation of Spatial Data: Some Theory for Kriging. New York: Springer.

Wackernagel, H. (1995) Multivariate Geostatistics - An Introduction with Applications. Berlin: Springer-Verlag.

Lectures recomanades

Burrough, P.A. (1986) Principles of Geographical Information Systems for Land Resources Assessment, Oxford, UK, Clarendon Press. Chapter 8.

Cressie, N. (1993) Statistics for Spatial Data. New York: Wiley.