Superfície

Autor: Dr. Joan Nunes. Universitat Autònoma de Barcelona
Promotor: Institut Cartogràfic de Catalunya, 2013

 

Una superfície és una forma contínua bidimensional immersa en un espai de tres dimensions, generalment expressada per mitjà d'una funció, que representa l'embolcall extern d'un objecte o d'una regió de l'espai. El concepte de superfície s'aplica en física, enginyeria, informàtica gràfica i moltes altres disciplines principalment per a representar la forma externa d'objectes físics.

En les aplicacions informàtiques de gràfics 3D per ordinador, com és ara el disseny assistit per ordinador, les superfícies són, juntament amb les armadures i els sòlids, una de les maneres de representar objectes en tres dimensions. També s'utilitzen núvols de punts per a representar objectes, com a procediment inicial d'entrada de dades, amb la finalitat de generar una de les tres representacions gràfiques bàsiques d'objectes en tres dimensions.

En l'àmbit de la informació geoespacial, la representació d'objectes físics en tres dimensions té aplicació en la visualització 3D, però en termes generals les superfícies s'utilitzen sobretot per a representar la forma física o virtual d'una regió de l'espai geogràfic. En aquest sentit, el concepte general de superfície és el de representació d'un fenomen geogràfic com a magnitud contínua que varia a través de l'espai, en funció de la posició. El cas més habitual de superfície emprada en els sistemes d’informació geogràfica és la superfície del terreny representada mitjançant la variació de l'altitud en funció de la posició en els models digitals d'elevacions, però el concepte s'aplica també en general a qualsevol fenomen geogràfic que presenti una variació contínua a través de l'espai, com és ara precipitacions, temperatures, granularitat o pH dels sòls, de manera que en virtut de la seva variació contínua pot ser tractat com una superfície virtual.

En aquest sentit, en l'àmbit de la informació geoespacial, la modelització i anàlisi de superfícies esdevé essencialment un problema d'ajust de superfícies, per tal de determinar la funció de superfície que millor s'ajusta al conjunt d'observacions obtingudes per mitjà d'un mostreig espacial, amb finalitats de descripció, d'interpolació espacial i d'anàlisi.

Exemple de superfície oberta, amb isolínies dels valors de X, Y  i Z.  Font: http://en.wikipedia.org/wiki/Surface

 

Origen

En matemàtiques l'estudi de les superfícies forma part de la topologia, que es desenvolupà a finals del segle XIX a partir dels treballs de Georg Cantor i posteriorment d'Henri Poincaré, Felix Haussdorf i Kazimierz Kuratowski, ja en el primer terç del segle XX.

En el camp de la informació geoespacial el concepte de superfície aplicat a la representació i estimació dels fenòmens de variació espacial contínua s'introdueix sobretot a partir de la dècada de 1950, a través de mètodes d'interpolació espacial desenvolupats en geologia, com és ara l'anàlisi de superfície de tendència (Krumbein, 1959) o el krigatge (Krige, 1951) i, en general, a través del desenvolupament de l'estadística espacial (Moran, 1950; Geary, 1954; Whittle, 1954) i de la geoestadística (Matheron, 1962). En el camp de la geografia, l'aplicació del concepte de superfície s'introduí i desenvolupà arran de l'anomenada revolució quantitativa en geografia, a partir de la dècada de 1960, amb treballs com els de Chorley i Haggett (1965) i Tobler (1966), entre d'altres.

L'aplicació particular del concepte de superfície a la representació digital del relleu en forma de model digital d'elevacions data també de la dècada de 1950 (Miller and Laflamme, 1958), desenvolupat en el camp de la fotogrametria.

Definició

En matemàtiques, i en particular en topologia, una superfície és una varietat topològica bidimensional, que localment és homeomorfa (és a dir, "s'assembla") al pla euclidiàR², de manera que en un entorn reduït al voltant de cada punt d'una superfície aquesta s'aproxima bé per mitjà del pla tangent a la superfície en aquell punt, igual que la superfície de la Terra localment sembla plana.

L'homeomorfisme entre una superfície i el pla euclidià implica que per a cada punt d'una superfície hi ha un veïnat (una petita regió entorn del punt) que és homeomorf a un disc obert de R². Aquesta propietat permet construir un sistema de coordenades local bidimensional entorn de qualsevol punt de la superfície. L'homeomorfisme local que va de la superfície a R² s'anomena carta de coordenades locals, mentre que l'invers s'anomena parametrització de la superfície. Així l'equació paramètrica d'una superfície es defineix com:

Per exemple, una esfera es pot definir paramètricament segons:

x = r sin θ cos φ
y = r sin θ sin φ
z = r cos θ

o implícitament per mitjà de l'equació:

x² + y² + z² − r² = 0

La funció que expressa el valor de la magnitud física o virtual, z, com a imatge (funció) de les coordenades x i y en el pla, és el que s'anomena funció de superfície i el que constitueix l'objecte de l'anàlisi de superfícies en l'àmbit de la informació geoespacial. Per simplicitat, es consideren només superfícies funcionals (és a dir, un sol valor de z per a cada parell x, y) i atesa la complexitat de la variació espacial de la major part dels fenòmens geogràfics, inclosa l'altitud del terreny, la funció de superfície se sol aproximar per mitjà d'una funció estadística en lloc d'una formulació determinista, com solen ser les equacions paramètriques de les superfícies en matemàtiques.

Tipus de superfícies

Una diferència important en matemàtiques pel que fa a tipus de superfícies és la distinció entre superfícies obertes i superfícies tancades. Una superfície tancada és una superfície que no té frontera, en el sentit topològic del terme. Intuïtivament una superfície tancada és una superfície que inclou un volum. Exemples de superfícies tancades són l'esfera o el tor. Inversament, una superfície oberta és tota superfície que té frontera, com per exemple un disc obert, un cilindre, un hemisferi, o la banda de Möbius

Totes les superfícies tancades immerses en l'espai de tres dimensions són superfícies orientables i tenen la propietat de dividir l'espai tridimensional en dues regions disjuntes: una acotada per la superfície, i que té volum finit; i una altra no acotada, exterior i de volum infinit.

Exemples de superfícies tancades (esquerra) i obertes (dreta): l'esfera, el tor o el cub són superfícies sense frontera; un disc obert, l'interior d'un quadrat o una esfera són superfícies delimitades per una frontera (ressaltada en vermell a la imatge)  Font: http://en.wikipedia.org/wiki/Surface

Les superfícies teòriques també es diferencien segons si són desenvolupables o no. Una superfície desenvolupable és aquella que pot ajustar-se al pla sense deformacions o, dit de manera més formal, quan existeix una isometria entre la superfície i el pla euclidià. El con i el cilindre són superfícies desenvolupables. Les superfícies desenvolupables són d'especial interès per a les projeccions cartogràfiques, ja que com és sabut l'esfera o l'el·lipsoide de revolució, que són les formes que aproximen la superfície terrestre, no són superfícies desenvolupables.

Superfícies en els sistemes d'informació geogràfica

En els sistemes d’informació geogràfica, la variació del relleu i en general la de tots els fenòmens de variació contínua en l'espai es representa per mitjà de superfícies funcionals. Una superfície funcional és aquella en què a cada posició del pla només hi correspon un valor de la variable representada. Això vol dir, per exemple, que en el cas dels models digitals d'elevacions no es poden representar desnivells perfectament verticals, i que les representacions de superfícies funcionals, com els models digitals d'elevacions, no són apropiades per a representar objectes en tres dimensions, com és ara edificis. Les superfícies funcionals, no obstant, són suficients per a aproximar formes com el terreny, en les quals els desnivells perfectament verticals no són gaire freqüents, i també per a descriure la variació contínua dels fenòmens en l'espai. D'altra banda, per a representar objectes en tres dimensions, de cara a la visualització 3D, per exemple, els sistemes d’informació geogràfica utilitzen, com els programes de gràfics per ordinador, la representació per mitjà d'armadures i sòlids, que combinen amb la de superfícies per a representar el terreny.

D'altra banda el tipus de superfície més emprada en l'àmbit de la informació geogràfica és el que es coneix com a superfície diferenciable. És a dir, una superfície que pren valors escalars o enters, de manera que la taxa de variació al llarg de la superfície es pot obtenir com a derivada. Així, els models digitals d'elevacions, que representen el relleu com a superfície que pren valors quantitatius d'altitud en les diferents posicions, són un exemple de superfície contínua diferenciable, a partir de la qual es pot calcular el pendent i l'orientació com a primeres derivades. Cadascuna de les derivades matemàtiques d'una superfície s'anomenen derivades de superfície. A la pràctica, atès que la representació del relleu mitjançant models digitals d'elevacions és discreta, les derivades de superfície són aproximacions calculades dins d'una finestra d'anàlisi de veïnat centrada en cada punt per diferència o per ajust d'un polinomi als valors de les cel·les de la finestra. Les dues derivades primeres d'una superfície són el pendent i l'orientació; les dues derivades segones d'una superfície són la convexitat de perfil i la convexitat de pla.

La superfície del terreny i en general la variació espacial dels fenòmens geogràfics és massa complexa per poder descriure-la per mitjà d'una funció determinista. En l'àmbit de la informació geoespacial se solen emprar funcions estocàstiques per a representar les superfícies complexes. En aquest cas, que és el més habitual en la informació geoespacial, la superfície s'anomena superfície estadística, pel fet de ser definida o representada per mitjà d'un model estadístic, i el problema de trobar una funció adequada esdevé una operació d'ajust de superfícies, per la qual es genera la funció de superfície estadística que aproxima els valors d'un conjunt de punts x, y i z coneguts. Un dels exemples típics d'ajust de superfícies estadístiques és l'anàlisi de superfície de tendència, que ajusta una funció de superfície, com és ara un pla o una funció polinòmica de grau superior, a un conjunt de valors observats en posicions d'un espai, que constitueixen un mostreig espacial. La superfície de tendència, però, no és més que un dels exemples d'ajust de funció estadística emprats en la informació geoespacial. En general, tots els mètodes d'interpolació espacial, entre els quals el krigatge, tenen per finalitat l'ajust de superfícies estadístiques a un conjunt de dades observades.

La representació dels fenòmens geogràfics que varien de forma contínua en el territori com a superfície funcional s'anomenen models de superfície, dels quals els models digitals d'elevacions en són un exemple. Atesa la complexitat dels fenòmens geogràfics, la funció de superfície estadística s'utilitza només per a interpolar valors desconeguts i per a analitzar els patrons de variació espacial del fenomen. El que s'emmagatzema com a model de superfície no és la formulació analítica de la funció de superfície, sinó una representació extensiva en forma de col·lecció finita de punts amb un valor associat (mesurat originalment o interpolat) de la magnitud representada. Els models de superfície se solen generar per interpolació a partir d'un conjunt de punts de mostreig i representen, s'emmagatzemen i es visualitzen digitalment per mitjà de models de dades ràster o de models de dades TIN (xarxes irregulars de triangles).

Temes relacionats

• Estadística espacial
• Geoestadística
• Interpolació espacial
• Krigatge
• Model de dades ràster
• Model digital d'elevacions
• Mostreig espacial
• Sistemes d’informació geogràfica
• Superfície de tendència
• Xarxa irregular de triangles

Referències

Chorley, R.J. and Haggett, P. (1965) "Trend-surface mapping in geographical research", Transactions, Institute British Geographers, 37, 47-67.

Geary, R.C. (1954) "The Contiguity Ratio and Statistical Mapping", The Incorporated Statistician  5 (3), 115–145.

Krige, D.G. (1951) A statistical approach to some mine valuations and allied problems at the Witwatersrand, Master's thesis of the University of Witwatersrand.

Krumbein, W.C. (1959) "Trend-surface analysis of contour-type maps with irregular control point spacing", Journal of Geophysical Research, 64, 823-834.

Matheron, G. (1962) Traité de géostatistique appliquée. Paris: Editions Technip.

Miller, C.L. and Laflamme, R.A. (1958) "The digital terrain model. Theory and application", Photogrammetric Engineering, 24, 3, 433-442.

Moran, P.A.P. (1950) "Notes on Continuous Stochastic Phenomena", Biometrika 37(1), 17–23.

Tobler, W.R. (1966) "Of maps and matrices", Journal of Regional Science, 7, 234-252.

Whittle, P. (1954) "On stationary processes in the plane", Biometrika, 41, 434-449.

Lectures recomanades

Gramain, A. (1984). Topology of Surfaces. BCS Associates

Li, Z.; Zhu, Q. and Gold, C. (2005) Digital terrain modeling: principles and methodology. Boca Raton, Florida: CRC Press.